공정 제어 개요

공정 제어를 전공하지 않은 학생들이 화공기사를 위해 본 수강을 듣는 경우가 많다고 하여 공정 제어 학습에 도움이 될 수 있도록 큰 그림의 공정 제어에 대한 개요를 설명드립니다.

우리 일상 생활에서 제어는 항시 필요합니다. 32도가 넘는 한 여름철 에어컨을 켰을 때 방안의 온도는 떨어집니다. 에어컨에서 온도 제어없이 그냥 동일한 용량으로 찬 공기를 내보낸다면 방안의 온도는 외부에서 들어오는 열에 의한 가열과 에어컨의 찬 공기에 의한 냉각이 균형을 이루는 어떤 점의 온도에서 유지될 것입니다. 그러나 대기 온도는 하루종일 변화하고 이에 따라 방안 온도는 끊임없이 시간에 따라 변화할 것이고, 더더욱 에어컨을 세게 틀지 않았다면 원하는 방안 온도 근처로 가지도 않아서 더울 것입니다. 방안의 온도를 18도가 되도록 대기 온도의 변화나 방의 크기에 따라 에어컨이 찬 공기 양을 조절하는 것이 바로 제어입니다.

제어는 이와같이 변화에 대해 억제내지 원하는 방향으로 변경하여 유지하는 동작입니다. 제어의 기본적인 용어를 먼저 이해할 수 있어야 합니다. 먼저 ‘제어변수’는 방안의 유지하고자 하는 온도와 같이 제어의 목적이 되는 변수입니다. 이를 유지하기 위해 에어컨이 지속적으로 내뿜는 찬공기를 ‘조작변수’라고 합니다. 그리고 방안 온도인 ‘제어변수’의 변화에 영향을 미치는 대기 온도와 같은 외부적인 요소를 ‘외란변수’라고 합니다. 여기서 거실 공간은 ‘공정’이 됩니다. ‘공정’은 그 안에서 변화가 일어나는 공간이고, ‘조작변수’와 ‘외란변수’의 변화가 어떻게 얼마나 ‘제어변수’에 영향을 미친 결과를 주는지 결정합니다. ‘조작변수’와 ‘외란변수’는 공정의 ‘입력변수라 하고 ‘제어변수’는 공정의 ‘출력변수’라고 이야기 합니다. ‘입력 변수’의 변화에 대해 ‘공정’은 고유의 ‘출력변수’ 변화의 결과를 줍니다.

32평 아파트와 25평 아파트의 거실의 크기는 다릅니다. 32도의 한여름 에어컨을 가동시켰을 때 18도까지 도달하는 데 걸리는 시간은 32평과 25평이 다릅니다. 이 거실 공간을 ‘공정’이라고 했는데 ‘공정’은 그 자체의 용량, 즉 아파트 평수에 따른 다른 거실 공간의 부피를 가지고 있습니다. 에어컨의 찬공기가 이 거실 공간 전체를 흘러 가면서 바깥 대기 온도에 의해 가열되는 거실내 공기를 냉각시키는 데 소요되는 시간은 거실 공간 부피마다 달라집니다. 시간에 따른 거실 온도 변화와 같이 입력 변수 변화에 대한 시간에 따른 ‘공정’의 고유한 출력 변수 변화를 ‘공정의 동특성’이라고 이야기 합니다. 이 공정의 동특성을 나타내는 대표적인 지표가 ‘시간상수’입니다.

32평과 25평의 거실이 32도에서 18도까지 도달하는데 걸리는 시간이 다를 것이고, 32-18=14도의 온도 변화에 있어서 63.2% 변화하는 데 까지 걸리는 시간이 ‘시간상수’인 것입니다. 아파트 평수마다 이 값은 다를 것이고, ‘시간상수’가 클 수록 이 공정의 동특성은 느리다라고 할 수 있는 것입니다. 거실 공간의 부피에 대해 에어컨의 찬공기 유량을 나눈 값이 ‘시간상수’로 V/q로 표시되는 것입니다.

아파트 거실 온도를 출력 변수로 하고 에어컨의 찬공기양를 입력 변수라 하였을 때 에어컨의 찬공기양의 변화에 따른 거실 온도의 변화를 수학적 모델로 표현하는 것이 ‘공정의 모델링’입니다. 이에 대해 물질수지식과 에너지수지식을 세워보면 그 식이 미분방정식이 나옵니다. ‘공정’에 따라서 세워지는 미분방정식이 1차 미분방정식일수도 있고 2차 미분방정식일수도 있습니다. 1차 미분 방정식으로 표현되는 공정을 1차 공정이라고 하고 2차 미분방정식으로 표현되는 공정을 2차 공정이라고 합니다. 제어를 위해서는 공정의 입력에 대한 출력의 시간에 따른 변화를 이해하여야 하는데 그것이 ‘공정의 동특성’을 알고자 하는 목적입니다. 에어컨 찬공기양의 변화에 대해 거실 온도는 1차 공정이 될 수 있지만 안방의 온도는 거실 공간과 안방 공간 즉 2개의 Tank를 연결한 것과 같이 되서 2차 공정이 될 수 있을 것입니다. 1차 공정의 동특성이 2차 공정의 동특성보다 빠른 데 이는 거실 에어컨 가동시 거실 온도가 안방 온도보다 더 빨리 차가워지는 것으로 이해하시면 될 것입니다.

에어컨 이야기에서 잠시 라면 끓이는 이야기로 전환을 해보겠습니다. 가스렌지 위에 냄비를 올리고 물을 붓습니다. 라면 1개를 끓일 경우 물의 양과 2개를 끓일 경우 물의 양은 다릅니다. 냄비를 ‘공정’이라고 했을때 이 물의 양이 ‘공정’의 부피가 되고 ‘시간상수’는 물이 끓기까지 온도 변화의63.2%까지 도달하는 시간입니다. 이 ‘시간상수’는 공정의 동특성을 나타내고 2인분 라면보다 1인분 라면 물이 더 빨리 끓을 것이며, 1인분 라면 공정이 더 작은 ‘시간상수’값을 갖는 것입니다.

가스렌지를 3단으로 켠 순간 가스가 공급되면서 불이 붙고 라면 냄비의 물이 가열되기 시작하는 이러한 변화를 ‘계단응답’이라고 합니다. 가스렌지를 켠 순간을 시간이 0인 시점으로 생각하며 이때 투입되는 열량이 순간적으로 가스렌지 3단의 크기만큼 ‘공정’인 라면 냄비에 투입됩니다. 시간 0인 시점에서 입력이 어떤 크기로 일정하게 증가되서 유지되는 것을 ‘계단입력’이라고 이야기하고 이에 대한 공정의 시간에 대한 변화를 ‘계단응답’이라고 합니다. 공정의 동특성을 이해하는데 있어서 입력 변수의 변화에 대해 1차공정이나 2차공정이 어떤 출력변수에 변화를 주는 지 확인이 필요합니다. 이때 입력 변수의 변화 방법중에 가장 많이 사용하는 것이 ‘계단입력’인 것입니다. 그 결과를 ‘계단응답’ 또는 ‘스텝응답’이라고 합니다.

한편 가스렌지를 3단으로 켰다가 아주 짧은 순간에 다시 끄면 이는 ‘충격입력’이 됩니다. 이에 대해 냄비물의 온도 변화가 ‘충격응답’ 또는 ‘임펄스응답’입니다.

이렇게 하면 안되겠지만 가스렌지를 1단, 2단 3단으로 켰다가 3단, 2단, 1단으로 끄는 것을 일정한 주기로 반복하면서 라면 냄비를 끓인다면 이것이 ‘정현파’ 입력입니다. ‘정현파’는 사인(Sine) 곡선으로 입력의 변화를 주는 것으로 이에 대한 응답 결과를 ‘진동응답 또는 ‘주파수응답’이라고 합니다.

공정의 동특성을 이해하기 위해 공정의 입력 변수에 다양한 변화를 주는데 그 대표적인 것이 ‘계단입력’, ‘충격입력’ 그리고 ‘정현파입니다’.

‘진동응답’ 또는 ‘주파수응답’은 사인파 입력을 공정의 입력 변수 변화로 주어서 그 결과로서 출력 변수의 변화를 보는 것입니다. 가스렌지를 1단, 2단, 3단으로 올렸다가 3단, 2단, 1단으로 내리는 반복적인 주기 시간을 T라고 하면 2p/T가 진동수 w가 됩니다. 가스렌지 단수 변화의 주기를 빠르게 또는 느리게 변화하면 이 진동수 w가 작았다가 커지는 것이고 이에 대해 라면 냄비 물 온도의 변화가 바로 ‘진동응답’이 되는 데 이 라면냄비 물 온도 변화의 주기도 동일하게 유지된다는 것입니다. 그래서 ‘진동응답’에서는 진동수 w가 입력과 출력에 동일한 값으로 유지됩니다. 반면에 라면 1인분이냐 2인분이냐에 따라 그 온도 변화의 크기가 다른 값이 얻어지는데 이를 ‘진폭비’라고 이야기합니다. 당연히 라면 2인분 물의 양이 많고 이 냄비 물 온도 변화의 진폭비가 라면 1인분 물의 온도 변화 진폭비도 작아질 것입니다. 가스렌지를 1단, 2단, 3단으로 켰다가 3단, 2단, 1단으로 끄는 것을 매우 느린 주기로 반복한다고 (진동수는 주기의 역수이니 매우 작게 된다고)  생각하면, 라면 냄비 물은 완전히 끓었다가 다시 식었다가를 반복할 것입니다. 이것은 진폭비가 온전히 변화하는 것으로 진폭비가 1이되는 것입니다. 매우 느린 주기로서 진동수 w가 0에 가까울 경우의 진동응답의 진폭비는 1에 수렴하는 것을 이제 이해할 수 있습니다. 반대로 매우 빠른 주기로 즉 진동수 w를 매우 키우면 라면 냄비 물은 끓을래야 끓을 수가 없습니다. 이래서 진동응답에서는 진동수 w가 증가하면서 진폭비가 감소하게 되는 것입니다.

진동응답에서 진동수 w는 입력과 동일하게 출력에 유지되면서, 대신에 진폭비는 변한다는 것을 이해하였는데, 한편 ‘위상’의 변화도 있다고 합니다. ‘위상’의 변화는 일종의 시간 지연으로 이해하시면 됩니다. 다시 가스렌지를 1단, 2단, 3단으로 켰다가 3단, 2단, 1단으로 끄는 것을 매우 느린 주기로 반복한다고 (진동수는 주기의 역수이니 매우 작게 된다고)  생각하면 라면 냄비 물의 온도도 동일한 시간에 같이 변화할 것입니다. 즉 진동수 w가 0에 가까워지면 위상은 0입니다. 그런데 주기가 매우 짧아지면 진동수 w가 커지면 라면 냄비 물이 끓으려면 가스 렌지가 꺼지고 물이 식으려면 다시 켜지고가 반복되면서 라면 냄비 물 입장에서는 확 돌아버릴 일입니다. 완전히 돌아 버리면 -180도인데 이는 라면 물온도가 열을 받는데도 식는다는 것이이서 불가능합니다.  따라서 1차 공정에서는 그러한 일은 벌어지지 않습니다. 결국 진동수 w가 아무리커져도 1차 공정은 -90도까지로 위상 변화가 수렴합니다. 2차 공정은 -180도로 수렴합니다. 이 -180도를 넘어서게 되는 경우는 1차, 2차 공정에서는 벌어지지 않음으로 가스렌지 켜서 냄비 물이 냉각되는 경우는 발생하지 않습니다.  

한 여름에 대기 온도가 밤에 최저 온도 15도로 시작해서 한 낮에 32도까지 하루종일 오르라 내리락을 반복할 때 이에 대해 에어콘을 켜지 않은 거실 온도의 변화를 측정하면 그것이 진동응답입니다. 외란 변수인 대기 온도가 입력 변수가 되고 이 입력 변수의 변화 모양이 사인파와 유사하게 오르락 내리락 할 때 공정인 거실 공간의 출력 변수인 거실 온도가 오르락 내리락 하는 결과가 진동응답인 것입니다.  

가스렌지, 에어컨, 세탁기 이 모든 것인 집안에 있는 ‘공정’이고 이 ‘공정’에 대한 동특성의 이해를 위해 ‘공정 모델링’을 하고 이는 수학적 모델로 표현되며 그것이 미분방정식이고, 여기에 다양한 입력 변수 함수가 존재한다는 것을 이제까지 설명하였습니다.

1차미분방정식이나 2차미분방정식으로 나타내진 공정에 입력변수를 어떠한 형태로 주었는지에 따라 그 출력변수의 결과를 구하기 위해서는 미분을 풀어야 하는데 쉽지가 않습니다. 그래서 등장한 것이 ‘라플라스 변환’ 입니다. 미분방정식을 ‘라플라스 변환’ 시키면 공식이 다항식으로 표현되는 대수방정식이 되고 이를 푼 다음에 다시 ‘역변환’하면 출력 변수의 변화를 구할 수 있습니다. 그래서 다양한 라플라스 변환 공식의 암기가 필요합니다. ‘계단응답’은 t=0에서 크기 1인 변화인데 라플라스 변환하면 1/s 가 됩니다. 수학에서 ‘변환’이라는 것이라는 것은 좌표평면이 바뀌는 것인데 라플라스 변환은 시간 t의 좌표에서 s라는 변수의 좌표로의 이동을 의미합니다. S에 대한 다항식으로 나타내진 공정에 대해 다양한 응답의 결과를 풀고 이를 다시 역변환하여 시간 t에 대한 함수로 나타내는 것입니다.

오후 3시에 방안 온도가 현재 28도이고 바깥 대기 온도는 32도인 시점에서 오후 늦게로 가면서 저녁 7시에 방안 온도가 몇 도가 될지를 알고자 한다면 대기 온도의 시간에 따른 일일 변화 트렌드를 정현파와 유사하게 맞추어 구하고, 거실 공간에서의 온도 변화에 미치는 영향을 모델링하여 미분 방정식으로 나타내고 이를 라플라스 변환하여 풀게 될 것입니다.

오후 3시를 시간 t=0인 시점으로 하고 방안 온도를 y라 하면 y(0)= 28 이 출발점이 됩니다. 이때 대기 온도를 x라 하면 x(0)=32가 됩니다. 라플라스 변환시 다항식을 편리하게 사용하려면 출발점 변수들이 모두 0이어야 합니다. 따라서 y’ = y – 28, x’ = x-32라는 변수를 새로 도입하면 y’(0)=0, x’(0)=0 이 되게 됩니다. 이 x’, y’를 편차 변수라고 합니다. 라플라스 변환은 이 편차변수를 기반으로 진행됩니다.  라플라스 변환된 변수는 Y(s), X(s)로 나타내어지게 됩니다. 그리고 공정에 대한 식은 G(s)로 나타내어집니다. 출력 변수 Y(s) = G(s) X(s)에서 구해집니다. 이를 ‘전달함수’라고 이야기 합니다. 이 ‘전달함수’를 구하면 어떠한 입력 변화에 대해서도 그 공정의 출력 변화를 쉽게 구할 수 있는 것입니다.  대기온도외에 에어컨 찬공기양도 이 공정의 입력변수가 됨으로 각각을 X1(s), X2(s)라고 하면 거실 온도 Y(s)에 대해 영향을 미치는 상관관계를 나타내는 각각의 전달함수 G1(s), G2(s)를 얻을 수 있게 됩니다. 이를 수식으로 표현하면 Y(s) = G1(s)X1(s)+G2(s)X2(s)가 됩니다. 이를 해석하고 이해하기 쉽게 도식화하여 나타내는 것인 ‘블락선도’입니다. ‘블락선도’는 입력 변수와 출력 변수사이의 다양한 전달함수를 박스안에 표시하여 그래프로 도식화 한 것입니다. 이를 이용하면 세부적인 전달함수들은 모두 총괄하여 하나의 G(s)로 표시되게 구하는 데 이것을 ‘총괄전달함수’라고 합니다. 이 총괄전달함수를 기초로하여 공정의 동특성을 해석할 수 있게 됩니다.

공정 동특성을 이해하는 데 있어서 충격(임펄스) 응답을 많이 사용합니다. 후라이펜에 기름을 붓고 가스렌지를 켰다가 잠시 후에 끄면 어떻게 될까요. 기름 온도가 잠시 올라갔다가 다시 식으면서 원래대로 돌아갑니다. 일순간 올라갔던 온도가 식는 변화는 지수 함수 모양으로 급격히 식습니다. 반면에 와인잔에 물을 반정도 채우고 한 번 흔들어 보십시요. 그러면 차있던 물이 어떻게 움직일까요? 급작스럽게 출렁거리며 지속적으로 출렁이 반복되다가 서서히 출렁되는 크기가 줄면서 안정되게 됩니다. 후라이팬 기름 온도 식는 것과 와인잔 물 출렁이다가 안정화되는 것은 그 동특성이 확연히 틀립니다. 전달함수에서 이것을 이해하는 것은 전달함수의 분모식을 0되게 만든 s다항식의 근의 위치를 통해서입니다. 전달함수 분모식을 0되게 하는 근 s를 ‘극점’이라고 이야기 합니다. 이 ‘극점’의 복소수 좌표평면의 어디에 위치하느냐에 따라서 충격응답에 대한 특성이 달라집니다. ‘극점’이 음의 실수축에 위치하는 경우는 후라이팬의 기름과 같은 경우입니다. 잠시 충격 (가스렌지를 켰다가 끔)을 받아서 순간 온도가 증가했다가 다시 식습니다. 외란이 제거되는 것입니다. 그 식는 모양도 진동없이 지수함수(exponential) 모양으로 감소합니다. 2차 공정의 경우 제동비 또는 감쇠 계수라고 하는 파라미터가 이 극점과 같은 판단에 사용되는 데 이 감쇠 계수가 1보다 같거나 큰 경우가 이 경우입니다.

반면 ‘극점’이 음의 실수가 아니라 복소수인데 복소수의 실수부가 음의 값을 갖는 경우가 와인잔안의 물의 거동이 됩니다. 와인잔을 한번 흔드는 것과 같은 충격 응답이 주어지면 출렁이 순간 시작되어 진동이 계속 반복하여 출렁거리다가 진폭이 잦아들며 멈추는 그러한 응답의 공정은 그 ‘극점’이 ‘음의 실수부를 갖는 복소수라는 것입니다. 2차 공정에서 감쇠 계수가 1보다 작은 경우 진동을 하면서 멈추는 데 이를 ‘과소 감쇠’라고 합니다. 와인잔 물이 충격 응답에 출렁거리며 진동하다가 멈추는 것을 기억하시고 이를 2차 공정의 ‘과소 감쇠’ 응답이며 이는 감쇠 계수가 1보다 작은 경우라는 것을 기억하시기 바랍니다.

‘극점’이 음의 실수이든지 아니면 음의 실수부를 갖는 복수부이든지 복소좌표평면의 위치는 왼쪽 좌반면입니다. 이 경우 충격응답에 대한 결과는 충격을 극복하고 제자리로 ‘수렴’해서 돌아오는 것입니다. 반면에 ‘극점’이 우반면에 존재하는 경우, 즉 양의 실수나 양의 실수부를 갖는 복소수 인 경우는 충격이 주어지면 ‘발산’을 한다는 것입니다. 풍선을 손으로 눌렀다가 놓으면 제자지로 돌아오지만 바늘로 풍선을 찌르면 풍선은 터져버립니다. 종이에 라이터로 불을 붙였다가 라이터를 꺼도 불붙은 종이는 계속 타들어 값니다. 이것이 ‘발산’입니다. ‘극점’이 양의 실수일때는 시간이 지나면서 지수적으로 출력 변수가 증가하면 발산을 하고 ‘극점’이 양의 실수부를 갖는 복소수일때는 진동을 하면서 점점 진폭이 커지면서 발산하게 됩니다. 제어는 변화를 억제하기 위한 것이라고 했는데 잘못된 제어는 변화를 억제하기 보다는 오히려 변화를 키우게 될 수도 있습니다. 예를들어 한여름 대낮 거실 온도를 낮추기 위해 보일러를 틀면 온도는 더 올라가게 됩니다. 이 온도가 올라가면 보일러를 더 틀게 되고 더 온도는 올라가는 악순환이 반복되는 것입니다.

에어컨의 온도를 18도로 세팅하면 에어컨은 거실 온도를 측정하여 18도가 될때까지 찬바람을 내보냅니다. 거실 온도의 제어를 위한 제어기가 에어컨이 되는 것이고 이때 18도 세팅을 ‘설정치’라고 하며 제어 목표치를 말합니다. 반면 거실 온도는 ‘측정치’이며 이 ‘설정치’와 ‘측정치’의 차이를 ‘제어 오차’라고 합니다. ‘제어 오차’를 줄이기 위해 지속적으로 측정하여 제어 동작을 반복하는 것을 ‘피드백 제어’라고 합니다. ‘피드백 제어’는 되먹임 제어라고도 하며 제어 동작을 하고 그 결과를 측정하여 목표치와 비교하여 그 제어 오차의 크기를 확인하여 이에 맞추어 다시 제어 동작을 하는 것입니다. 우리 일상 생활의 모든 기본 동작은 피드백 제어입니다. 음식의 간을 맞추기 위해 먼저 맛을 봅니다. 이때 싱겁다고 느껴지면 이는 목표대비 차이가 있는 제어 오차가 존재하는 것으로 소금을 더 넣습니다. 그리고 다시 맛을 보고 반대로 짜다고 느껴지면 물을 더 넣습니다. 이를 반복하면 음식의 간은 맞추어지게 됩니다. 반대로 ‘피드포워드’ 제어는 ‘앞먹임제어’라고도 하며 외란 변수를 측정하여 이에 대응하여 선동작을 취하는 것입니다. 예를 들면 대기 온도가 아침에서 한 낮으로 가면서 올라갈 것이고 이 대기 온도를 측정하여 에어컨 용량을 변화시킨다면 이것이 피드포워드 (앞먹임) 제어입니다. ‘외란 변수’의 ‘측정’이 되고 이에 대한 영향을 예측하여 선동작을 취하는 것입니다. 피드포워드의 단점은 ‘측정’이 잘못되거나 그 영향에 대한 예측 모델이 잘못된 경우 오히려 부작용이 생긴다는 것입니다. 온도계가 고장나서 대기 온도가 32도인데 18도 측정하면 피드포워드 제어기로는 에어콘 가동이 안되는 것입니다. 그래서 피드포워드 단독으로 사용되지 않고 피드백과 같이 사용하게 됩니다.

피드백(되먹임) 제어는 제어 오차에 비례하여 그 동작의 크기를 결정하는 ‘비례제어’가 기본 요소입니다. 덜 짜면 물을 조금 넣고 너무 짜면 물을 많이 넣어 음식의 간을 하는 것과 같은 이치입니다. 이 ‘비례제어’의 한계는 음식의 간을 딱 못 맞추고 적당히 맞춘다는 것입니다. 즉 에어컨 온도 설정치를 18도로 정해도 18.1도나 17.9도에서 멈춘다는 것입니다. 이때의 목표치 미달치인 +0.1도나 -0.1도 같은 값을 ‘잔류편차’라고 합니다. ‘비례제어’는 이 ‘잔류편차’를 완전히 제거하지 못합니다. 왜냐하면 제어 오차 크기에 비례하여 동작하는 데 제어 오차가 계속 동일한 값으로 유지되면 더이상 동작을 하지 않기 때문입니다. 이를 해결하기 위해서 도입된 것이 ‘적분제어’입니다. 시간에 따라 제어 오차를 계속 누적한 값을 기반으로 동작하는 것으로 제어 오차 크기가 일정해도 누적값은 증가하니 제어 동작을 하여 결국 제어 오차가 사라질때까지 동작합니다. ‘적분제어’는 잔류편차를 제거하여 거실 온도가 정확히 목표치 18도에 도달하게 만듭니다.

제어기에 가장 많이 사용되는 구성은 ‘비례제어(P)’ 동작과 ‘적분동작(I)을 합친 PI 제어기입니다. 제어 오차의 변화하는 경향을 토대로 동작하는 ‘미분제어(D)’도 있습니다만, 적용하기가 어렵습니다. ‘미분제어’는 시간에 따른 제어 오차 변화의 기울기가 커지면 동작을 그만큼 많이 하여 피드포워드같은 선동작의 효과가 있는데 문제는 그 기울기의 변화가 ‘측정 잡음’으로 인해 이랬다 저랬다 할 수 있기 때문입니다.

공정에 제어기까지 갖춘 총괄전달함수에서 중요한 것은 안정성의 판단입니다. 왜냐하면 제어기의 3가지 요소 ‘비례상수 P’, ‘적분상수 I’, ‘미분상수 I’ 값을 어떻게 설정하느냐에 따라 전체 제어 시스템이 안정한지 불안정한지가 달라지게 되기 때문입니다. 이 전달함수를 기초로 안정성을 따지기 위해 나온 시스템들이 보데선도, 나이퀴스트 선도 등입니다.

비례상수 P의 경우 Kc로 나타내는 데 이 Kc 값을 키우면 어느 순간 제어동작이 과하게 되어 발산하게 됩니다. 예를 들어 음식 간을 맞추기 위해 맛을 보았는데 짜다고 소금을 한 그릇 부으면 너무 싱겁고 그래서 물을 한 바가지 넣으면 결국 냄비는 넘쳐버리고 맙니다. 때문에 제어 동작이 먹힐 수 있는 어느 정도의 선이 한계점 또는 임계점이고 이때의 Kc값을 임계 이득이라고 합니다. 이 임계이득값보다 작게 Kc를 설정하는데 이때의 마진 정도를 이득 여유라고 합니다. 피드백 제어 동작을 통해 진폭비가 1보다 작아야 제어가 되고, 위상 변화가 -180도 이내라야 뒤바뀌지 않고 제어가 되는 데 만일 진폭비가 1보다 크다던가 위상 변화가 -180도보다 커서 뒤집힌 결과가 나오면 안정성이 무너집니다. 그래서 진동응답을 통해 안정성을 판단함에 있어서 진동수 w의 크기 변화에 대해 진폭비와 위상의 변화를 확인하여 어떤 진동수 변화에 대해서도 진폭비가 1보다 작거나 위상 변화가 -180도보다 적다는 것을 확인하면 이 제어시스템이 항상 안정하다고 할 수 있는 것입니다. 그런데 진동수 w가 수십에서 수십만까지 변화하는 폭이 커서 이를 효과적으로 나타내기 위해서 log를 도입하여 로그 좌표로 나타낸 것이 보데선도입니다. x축은 log w로 나타내고 윗쪽은 진폭비 AR의 logAR 값으로 표시하고 아래쪽은 위상을 그 크기대로 표시된 것이 보데선도입니다.

이 보데선도에서 진폭비가 1인 지점의 진동수 w에 해당하는 위상각이 -180와 어느정도 거리가 있느냐를 위상여유라고 합니다. 예를 들어 -135도라고 하면 180-135=45도가 위상여유입니다. 한편 위상각이 -180도인 진동수 w에서의 진폭비가 1보다 얼마나 멀리 있느냐가 이득여유입니다. 이득여유는 로그 좌표다 보니 log GM = log1 – logAR로 계산되고 결국 이득여유 GM = 1/AR이 됩니다. 위상각 -180도일때의 한계 진동수 wc에서의 진폭비 ARc가 0.5이면 이득여유 GM = 1/0.5=2가 됩니다.  끝.